Logarithme naturel de nombres négatifs
Bonjour, ce billet a pour but de tenter d'exploser le logarithme naturel de nombres négatifs.
Mise en place
On sait d'après la formule d'Euler que
On peut donc dire que
A partir de là tout peut commencer dans l'étude des logarithmes de nombres négatifs.
Première approche: logarithme naturel d'un nombres complexes
Il est évident que tout nombre strictement négatif 
peut s'écrire sous la forme
On peut donc tout naturellement conclure que:
Par exemple:
Propriété: la somme de plusieurs logarithmes naturels de nombres complexes
Soient a et b deux nombres strictement négatifs, alors
D'une manière générale, on a, pour la somme suivante:
composée de 
termes.
Alors,
La formule plus rigoureuse est
Nouvel objet mathématique: le bloque terrassien
Tout semble aller bien jusque là, à un point prêt. On a chosit 
car mais on aurait pu prendre tout aussi bien 
car la fonction 
est 
-périodique.
Alors que choisir ? En fait, il y a mieux: pourquoi choisir ? Après tout, si on les prenait toutes ! Impossible me direz-vous ? Et pourtant...
Quand on résout une équation trigonométrie par exemple, les solutions peuvent s'écrire sous la forme d'un ensemble de valeurs distinces par des constantes additives. Voici un exemple de ce genre de solution
avec 
une solution particulière et 
un entier. L'idée de base vient de là. Mais on ne peut pas s'arrêter là.
En effet, soit on reste là et on dit que 
mais dans ce cas là on voit 
comme un ensemble de nombre, et on est obligé de le manipuler comme un ensemble pour le reste, soit on le considère sous un autre angle: celui du bloque terrassien.
Et si en fait c'était plusieurs choses à la fois ? En fait, on ne dit pas que
car c'est absurde et faux, on dit que n'a pas de valeur fixe, et que ça ne sert à rien d'en choisir une en particulier. Pour travailler avec , on peut prendre n'importe laquelle de ses valeurs, ça ne changera rien. D'où la notion de bloque terrassien. Un bloque, c'est un nombre qui vaut plusieurs valeurs à la fois, sans que ses valeurs ne soient forcément elles-même égales (mais elles peuvent l'être).
Deux cas de figures s'offrent à nous:
Le première cas se nomme le cas Fox on va donc prendre une valeur en particulier pour représenter , ici 
, et si jamais c'est une autre valeur qui s'impose (comme on le verra après), on pourra changer cette nouvelle valeur en la valeur représentative choisie plus tôt.
Mais comment appliquer ce changement sans arriver à une absurdité comme décrite plus haut ? Un nouvel opérateur de changement doit voir le jour
Il s'écrit ainsi:
Un B simple signifie un changement entre deux valeur d'un même bloque. Le Bt s'applique dans le cas d'un bloque terrassien, c'est-à-dire concernant le bloque du logarithme naturel de nombre négatif.
Le sens de est proche de celui du égale, mais n'est absolument pas le même.
Ainsi, on a 
Il faut ici comprendre que est comme un tableau avec plusieurs cases, représentants les valeurs. Mais manipuler une des cases "revient" à manipuler toutes les autres, à condition de respecter certaines choses, que nous allons tenter de découvrir. Le "revient" est représenté par le nouvel opérateur, les conditions à respecter sont les règles de manipulations de l'opérateur. Ces règles, nous allons les énumérer par la suite.
D'une manière générale, si le cas Fox est employé, il sera demandé de se rammenné, dans le cas de , le plus possible à sa valeur principale, à savoir .
Voici un exemple
